8.21. Розв'яжіть у цілих числах рівняння:
1) x² - 4y² = 5;
3) x² - 3xy + 3y - x = 10;
Помогите пожалуйста!!! Даю 50
Баллов
Ответы
Ответ:
1) Перепишемо рівняння у вигляді x² - 5 = 4y², і зробимо заміну x = t + 2y, тоді наше рівняння буде мати вигляд:
(t + 2y)² - 5 = 4y²,
t² + 4ty + 4y² - 5 = 4y²,
t² + 4ty - 5 = 0.
Розв'яжемо це рівняння відносно t:
t = (-4y ± √(16y² + 20))/2 = -2y ± √(4y² + 5).
Отже, x = -2y ± √(4y² + 5). Для того, щоб x був цілим числом, вираз під коренем повинен бути квадратом цілого числа. Оскільки 4y² + 5 не є квадратом цілого числа при цілих y, то рівняння x² - 4y² = 5 не має розв'язків в цілих числах.
3) Зведемо рівняння до квадрату i отримаємо:
(x - 3y/2)² + (3/4)y² = 29/4.
Тепер розв'яжемо це рівняння в цілих числах. Зауважимо, що x - 3y/2 теж буде цілим числом. Так як 29 - це просте число i 29/4 - не є квадратом цілого числа, то рівняння x² - 3xy + 3y - x = 10 не має розв'язків в цілих числах.