Question

дифференциал теңдеу жалпы шешімін тап: 2xy'+y²=1 ​

Answer 1

2xy' + y² = 1 дифференциалдық теңдеуін шешу үшін алдымен оны y' = f(x,y) түрінде қайта жазамыз:

y' = (1 - y²) / (2x)

Бұл теңдеу Бернулли теңдеуі болып табылады, өйткені оның формасы бар

y' + P(x)y = Q(x)y^n,

мұндағы n = 2, P(x) = 0 және Q(x) = (1/2x).

Бұл теңдеуді шешу үшін z = y^(1-n) = y^(-1) орнына қоямыз. Содан кейін

z' = -(n-1)y^(-n)y',

Мұндағы n = 2. Бұны бастапқы теңдеуге ауыстырыңыз:

z' - P(x)z = -Q(x)

аламыз

z' + (1/x)z = -2x

Бұл жалпы шешімі бар бірінші ретті сызықтық теңдеу

z(x) = C/x² - 2x³/3,

мұндағы С – ерікті тұрақты. y айнымалысына оралсақ, бізде бар

y(x) = (C - 2x⁴/3)^(1/2).

Демек, 2xy' + y² = 1 дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі мына түрге ие болады

y(x) = (C - 2x⁴/3)^(1/2),

мұндағы С – ерікті тұрақты.