Question

Знайти усі значення параметра а≥0, при кожному з котрих рівняння 1+√(1-х²)=|х-а| має єдиний розв'язок?

Answer 1

Ответ: Вони мають єдиний розв'язок. Ці значення параметра a складаються з однієї єдиної точки a = 0.
Пошаговое объяснение:
Розглянемо дане рівняння:

1 + √(1 - x²) = |x - a|

Оскільки ліва частина завжди не менше 1, то ми можемо записати:

|x - a| ≥ 1

Це означає, що рівняння має розв'язок тільки в тому випадку, якщо відстань між точкою (a, 0) та точками (-1, 0) та (1, 0) менше за 1.

Зобразимо ці точки на координатній площині та намалюємо коло з радіусом 1 навколо центру в точці (a, 0):

Рівняння має єдиний розв'язок тоді й тільки тоді, коли коло перетинає ось x у єдиній точці. Це становиться можливим тоді, коли точка (a, 0) лежить на відстані не менше за 1 від кожної з точок (-1, 0) та (1, 0).

Отже умова для існування єдиного розв'язку полягає в тому, що:

|a - (-1)| ≥ 1 та |a - 1| ≥ 1 або a + 1 ≥ 1 та a - 1 ≤ -1 що еквівалентно: a ≥ 0 та a ≤ 0. Отже, усі значення параметра a, що задовольняють цій умові, підходять для нашого рівняння і мають єдиний розв'язок. Ці значення параметра a складаються з однієї єдиної точки a = 0.