Question

Знацти всі значення параметра а при Яких рівняння 36^(х) - (8а-1)×6^(х) +16а^(2) - 4а - 2= 0 має єдиний корінь.

Answer 1

Пусть $6^x=t$, причем $t > 0$, тогда получаем:

$t^2-(8a-1)t+16a^2-4a-2=0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения

$D=(8a-1)^2-4\cdot (16a^2-4a-2)=64a^2-16a+1-64a^2+16a+8=9$

Так как дискриминант положительный, то квадратное уравнение имеет два различных корня.

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ приняло только один положительный корень, т.е. по теореме Виета:

$x_1x_2=16a^2-4a-2 < 0$

$8a^2-2a-1 < 0$

$16(a+0.25)(a-0.5) < 0$

Получаем $-0.25 < a < 0.5$. Если подставим $a=-0.25$, получаем корни $t_1=-3 < 0$ и $t_2=0\notin (t > 0)$, а если $a=0.5$, то имеем $t_1=0\notin (t > 0)$ и $t_2=3 > 0$

Ответ: при $a \in (-0.25;0.5]$