Question

Обчислити площі фігур, обмежених лініями:
ху=1, у=х², у=4, х>0.

Answer 1

Пояснення:

$\displaystyle\\xy=1\ \Leftrightarrow\ (y=\frac{1}{x}) \ \ \ \ y=x^2\ \ \ \ y=4\ \ \ \ x > 0\ \ \ \ S=?\\\\x*4=1\ |:4\ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{4} \\\\4=x^2\\\\x=б2\ \ \ \ x > 0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ x=2.\\\\S=\int\limits^1_\frac{1}{4} {(4-\frac{1}{x}) } \, dx +\int\limits^2_1 {(4-x^2)} \, dx=(4x-lnx)\ |_\frac{1}{4}^1+(4x-\frac{x^3}{3} )\ |_1^2=$

$=(4*1-4*\frac{1}{4} -(ln1-ln\frac{1}{4} ))+(4*2-\frac{2^3}{3} -(4*1-\frac{1^3}{3}))=\\\\=(4-1-(0+ln4))+(8-\frac{8}{3} -(4-\frac{1}{3})=3-ln4+8-\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3} =\\\\=7-ln4-\frac{7}{3}=7-ln4-2\frac{1}{3} =4\frac{2}{3} -ln4\approx3,28 .$

Відповідь: S≈3,28 кв. од.