Question

решить производную
f(x)=(sinx)^cosx
(это синус возведение в степень косинуса)

Answer 1

$f(x)=(\sin x)^{\cos x}$

Для нахождения производной показательно-степенной функции нужно использовать логарифмическое дифференцирование.

Прологарифмируем обе части равенства:

$\ln\big(f(x)\big)=\ln \big((\sin x)^{\cos x}\big)$

Преобразуем правую часть по свойствам логарифмов:

$\ln\big(f(x)\big)=\cos x\cdot \ln \sin x$

Дифференцируем обе части соотношения:

$\left(\ln\big(f(x)\big)\right)'=\left(\cos x\cdot \ln \sin x\right)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=(\cos x)'\cdot \ln \sin x+\cos x\cdot (\ln \sin x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=-\sin x\cdot \ln \sin x+\cos x\cdot \dfrac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=-\sin x\cdot \ln \sin x+\cos x\cdot \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=-\sin x\cdot \ln \sin x+ \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$

Выражаем производную:

$f'(x)=f(x)\cdot\left(-\sin x\cdot \ln \sin x+ \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}\right)$

$f'(x)=(\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot \ln \sin x+ \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}\right)$