Question

Обчислити площу фігyри, обмежену лініями: y=√x, y=2-x, y=0
Даю 100балів, срочнооо

Answer 1

Спочатку ми можемо зобразити ці три лінії на графіку, щоб побачити, як вони взаємодіють:

Зауважимо, що точка перетину ліній y=√x та y=2-x може бути знайдена, вирішивши рівняння:

√x = 2-x

Перенесімо x на ліву сторону та піднесемо до квадрату:

x^2 + x - 4 = 0

Застосуємо формулу дискримінанту, щоб знайти корені цього квадратного рівняння:

D = b^2 - 4ac = 1 - 4(-4) = 17

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √17) / 2

x1 ≈ -2.56, x2 ≈ 1.56

Таким чином, точки перетину ліній знаходяться на відстані близько 4.12 одна від одної.

Ми можемо розділити область на дві частини за допомогою лінії x=x1 та знайти площу кожної частини окремо. За допомогою інтегралу можна обчислити площу кожної частини:

S1 = ∫[0, x1] (2-x)dx = [2x - 0.5x^2]_0^x1 ≈ 4.75

S2 = ∫[x1, 2] (√x)dx = [2/3*x^(3/2)]_x1^2 ≈ 2.77

Отже, загальна площа фігури дорівнює S1 + S2 ≈ 7.52. Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=√x, y=2-x, y=0, дорівнює близько 7.52 одиниць квадратних.