Question

Через точку К, яка лежить поза колом, проведено дві прямі, одна з яких перетинає коло в точках М і Р ( точка М лежить між точками К і Р), а друга – у точках N і S ( точка N лежить між точками S і Р).
1. Доведіть, що КМ · КР = КN · КS.
2. Знайдіть КS, якщо КМ = 18см, МР = 12см і КN : NS = 5 : 7.​

Answer 1

Через точку К, лежащую вне круга, проведены две прямые, одна из которых пересекает круг в точках М и Р ( точка М лежит между точками К и Р), а вторая – в точках N и S ( точка N лежит между точками S и К).

1) Докажите, что КМ * КР = КN * КЅ.

2) Найдите КЅ, если КМ = 18см, МР = 12см и КN : NS = 5 : 7.

Объяснение.

1)РМNS-вписанный четырехугольник. Пусть угол ∠S= φ , тогда по свойству углов вписанного четырехугольника ∠РMN= 180-φ.

Угол ∠КMN смежный с углом ∠РMN и значит ∠КMN =φ.

2) ΔКМТ∼ ΔКSP по двум углам : ∠К- общий , ∠КMN =∠S= φ.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны

КМ :КS=КN:КР ⇒ по свойству пропорции КМ * КР = КN * КЅ.

2) Отрезок КР= КМ+МР=18+12=30(см) . Учтем , что КN : NS = 5 : 7. усть одна часть данной пропорции х( х>0) . Тогда КN=5х , NS=7х, а КS=5x+7x=12x.

Т.к. КМ :КS=КN:КР, то

18 :12x=5x:30 или 60х²=18*30 ,

х²=9 , х=3.

КS=12*3=36 (см).