Question

/x^3+y^3=9
\x^2-xy+y^2=3

Answer 1

Ответ:Дана система рівнянь:

x^3 + y^3 = 9 ---(1)

x^2 - xy + y^2 = 3 ---(2)

Щоб вирішити систему, можна спочатку виключити одну зі змінних, скажімо y.

Зведемо друге рівняння до квадрата і отримаємо:

(x^2 - xy + y^2)^2 = 3^2

x^4 + y^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 - 2x^3y - 2xy^3 + 3x^2 + 3y^2 - 6xy = 9

Замінимо x^3 + y^3 в першому рівнянні за допомогою формули a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2):

(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 9

(x+y)(3 - xy) = 9

x + y = 9 / (3 - xy) ---(3)

Тепер можна підставити вираз для x + y в друге рівняння замість x або y і отримати квадратне рівняння з однією змінною.

Наприклад, підставимо x = 9 / (3 - y) - y в друге рівняння:

(9 / (3 - y) - y)^2 - (9 / (3 - y) - y)y + y^2 = 3

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

y^4 - 6y^3 + 15y^2 - 12y - 9 = 0

Це квадратне рівняння в змінній y^2. Розв'язуємо його за допомогою стандартної формули для квадратного рівняння і отримуємо:

y^2 = 3 або y^2 = 1

Якщо y^2 = 3, то з (3) маємо:

x + y = -3

Це протиріччя, оскільки x і y є дійсними числами, а сума двох дійсних чисел не може дорівнювати від'ємному числу.

Отже, розв'язком системи є дві пари чисел:

x = 1, y = 2 або x = 2, y = 1;

x = -1, y = -2 або x = -2, y = -1.

Перевіримо ці значення, підставивши їх у вихідні рівняння: