ABCD – трапеция, AB=CD=15. Прямые BB1 и CC1, перпендикулярные плоскости ABC. SABCD=108√3. Найдите угол между плоскостями ABC и AAB1C1
СРОЧНО НУЖНО, НАДЕЮСЬ КТО-ТО ПОМОЖЕТ!!)
Ответы
Відповідь:56.5
Пояснення:Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SAB1C1, которая вписана в трапецию ABCD. Поскольку треугольник SAB1C1 правильный, то его высота S1S перпендикулярна основанию AAB1C1, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SAB1B. Он прямоугольный, так как угол B1SA прямой. По теореме Пифагора получаем, что AB1 = AB/√3. Так как AB = CD = 15, то AB1 = 5√3.
Теперь найдем площадь треугольника AAB1C1. Она равна половине площади трапеции ABCD:
S(AAB1C1) = S(ABCD)/2 = 54√3
Высота треугольника AAB1C1 равна S1S, которую мы уже нашли, S1S = 5√3. Значит, площадь треугольника AAB1C1 можно найти по формуле:
S(AAB1C1) = 1/2 * AB1 * S1S = 1/2 * 5√3 * 5√3 = 37,5
Теперь найдем косинус угла между плоскостями ABC и AAB1C1. Для этого воспользуемся формулой:
cos α = (S(ABC) * S(AAB1C1)) / (AB * AC * BC)
Здесь AB = AC = 15, а BC = BB1 + CC1. Так как BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости ABC, то BC = AB1 + AC1.
Из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников SAB1B и SC1C получаем:
AC1 = BC1 = AB1/√2 = 5√6/2
Тогда BC = AB1 + AC1 = 5√3 + 5√6/2 = 5(√3 + √6/2)
Подставляем все известные значения в формулу для косинуса:
cos α = (S(ABC) * S(AAB1C1)) / (AB * AC * BC) = (108√3 * 37,5) / (15 * 15 * 5(√3 + √6/2)) = 4/√69
Таким образом, угол между плоскостями ABC и AAB1C1 равен arccos(4/√69) ≈ 56,5°.