Question

СРОЧНОО!!!
Изветсно, что 1/tg²A+1/ctg²A+1/sin²A+1/cos²А=7
Вычислить sin²2A​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{8}{9}.$

Объяснение:

Как известно, $\dfrac{1}{{\rm tg}\ A}={\rm ctg}\ A;\ \dfrac{1}{{\rm ctg}\ A}={\rm tg}\ A;\ {\rm tg^2}A+1=\dfrac{1}{\cos^2 A};\ {\rm ctg}^2A+1=\dfrac{1}{\sin^2 A};$

                     $\cos^2 A+\sin^2A=1;\ \sin 2A=2\sin A\cdot \cos A.$  

Имеем:               ${\rm ctg}^2A+{\rm tg}^2A+\dfrac{1}{\sin^2 A}+\dfrac{1}{\cos^2 A}=7;$

                    $({\rm ctg}^2A+1)+({\rm tg}^2A+1)+\dfrac{1}{\sin^2A}+\dfrac{1}{\cos^2A}=9;$

                           $\dfrac{1}{\sin^2A}+\dfrac{1}{\cos^2A}+\dfrac{1}{\sin^2A}+\dfrac{1}{\cos^2A}=9;$

             $\dfrac{2}{\sin^2A}+\dfrac{2}{\cos^2A}=9;\ 2(\cos^2A+\sin^2A)=9\sin^2A\cdot \cos^2A;$

              $9\sin^2A\cdot \cos^2A=2;\ 9(2\sin A\cdot \cos A)^2=8;\ 9\sin^22A=8;$

                                                   $\sin^22A=\dfrac{8}{9}.$