По каналу зв'язку передається 1000 знаків. Кожен знак може бути спотворений незалежно від іншого з імовірністю 0,001(n +1). Де n - останній номер кредитної книжки. Знайти близьке значення ймовірності, яке буде спотворено: а) не більше трьох знаків; б) хоча б одна ознака; в) рівно п'ять знаків.
Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Оскільки кожен знак може бути спотворений незалежно від інших, ймовірність, що один знак буде спотворений, дорівнює 0,001(n+1). Ймовірність того, що жоден знак не буде спотворений, дорівнює (1 - 0,001(n+1)).
a) Щоб знайти ймовірність того, що не більше трьох знаків будуть спотворені, можна скористатися формулою Бернуллі та знайти ймовірність кожного з можливих випадків і потім додати їх:
P(0) + P(1) + P(2) + P(3),
де P(0) - ймовірність того, що жоден знак не буде спотворений;
P(1) - ймовірність того, що рівно один знак буде спотворений;
P(2) - ймовірність того, що рівно два знаки будуть спотворені;
P(3) - ймовірність того, що рівно три знаки будуть спотворені.
Таким чином, отримуємо:
P(0) = (1 - 0,001(n+1))^1000
P(1) = 1000 * 0,001(n+1) * (1 - 0,001(n+1))^999
P(2) = (1000!/(2!*998!)) * (0,001(n+1))^2 * (1 - 0,001(n+1))^998
P(3) = (1000!/(3!*997!)) * (0,001(n+1))^3 * (1 - 0,001(n+1))^997
Тоді загальна ймовірність буде дорівнювати:
P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
б) Щоб знайти ймовірність того, що хоча б один знак буде спотворений, можна скористатися формулою комплементарної ймовірності:
P(хоча б один) = 1 - P(ні один),
де P(ні один) = (1 - 0,001(n+1))^1000.
в)Імовірність того, що один знак буде спотворений, дорівнює 0,001(n+1). Тому імовірність того, що п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює (0,001(n+1))^5.
Отже, імовірність того, що рівно п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює:
P = (1000 choose 5) * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^(1000-5)
де (1000 choose 5) - це кількість способів вибрати 5 знаків з 1000.
Застосуємо формулу Стірлінга для обчислення факторіала для чисел, що великі:
1000! ≈ sqrt(2π1000)(1000/e)^1000
Тоді:
P ≈ (1000! / (5! * (1000-5)!)) * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^(1000-5)
P ≈ 0,078 * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^995
Отже, близьке значення ймовірності того, що рівно п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює 0,078 * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^995.