Question

Используя теорему Муавра, докажите, что cos3x = 4cos^3x-3cosx

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Теорема Муавра відноситься до формул тригонометрії, що описують тригонометричні функції декартових координат. Вона говорить про обчислення значень тригонометричних функцій кутів, що дорівнюють добутку деякого числа із довільним кутом.

Зокрема, теорема Муавра має наступний вигляд:

(cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx),

де n - ціле число, а i - уявна одиниця.

Тепер доведемо формулу:

cos 3x = Re[(cos x + i sin x)^3]

= Re[cos^3 x + 3 i cos^2 x sin x - 3 cos x sin^2 x i - sin^3 x]

= Re[(cos^3 x - 3 cos x sin^2 x) + i (3 cos^2 x sin x - sin^3 x)]

= cos^3 x - 3 cos x sin^2 x.

Далі використаємо тригонометричну формулу для sin^2 x:

sin^2 x = 1 - cos^2 x,

і підставимо в попереднє вираз:

cos 3x = cos^3 x - 3 cos x (1 - cos^2 x)

= cos^3 x - 3 cos x + 3 cos^3 x

= 4 cos^3 x - 3 cos x.

Отже, ми довели формулу cos 3x = 4 cos^3 x - 3 cos x за допомогою теореми Муавра та тригонометричних формул.