З точки А до прямої проведено дві похилі АВ і АС, які утворюють з нею кути 600 і і 450 відповідно. Знайдіть похилу АС, якщо проекція АВ на пряму дорівнює 6 см. Завдання потребує повного письмового розв'язання.
Ответы
Відповідь:
Позначимо точку перетину похилих АВ і АС як точку В. Тоді, за властивостями трикутника, маємо:
AB = AV * sin(60°)
AC = AV * sin(45°)
Також за властивостями проекції, маємо:
AB' = 6 см
Застосуємо теорему Піфагора до трикутника ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Але ми можемо виразити AB та AC через AV:
AB^2 = AV^2 * sin^2(60°)
AC^2 = AV^2 * sin^2(45°)
Тоді підставляючи ці значення та розв'язуючи рівняння, маємо:
AV^2 * sin^2(60°) + BC^2 = AV^2 * sin^2(45°)
AV^2 = BC^2 / (sin^2(60°) - sin^2(45°))
AV = sqrt(BC^2 / (sin^2(60°) - sin^2(45°)))
Залишається знайти BC. Позначимо гіпотенузу трикутника АBC як СВ. Застосуємо теорему синусів до трикутника АВС:
sin(60°) = AB / AV = AB' / BV
sin(45°) = AC / AV = BC / BV
Тоді, розв'язуючи це рівняння для BC, маємо:
BC = sin(45°) * (AB' / sin(60°))
Підставляємо значення BC у формулу для AV та отримуємо:
AV = sqrt((AB' / sin(60°))^2 / (sin^2(60°) - sin^2(45°))) ≈ 15.5 см
Тому похила АС дорівнює:
AC = AV * sin(45°) ≈ 10.98 см