Question

Помогите пожалуйста решить , с объяснением пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

Находим первообразную методом замены переменной. Пределы интегрирования в определёном интеграле меняем соответственно замене . Применяем формулу Ньютона -Лейбница .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^4\, x\, \sqrt{x^2+9}\, dx=\Big[\ t=x^2+9\ ,\ \ dt=t'(x)\, dx=2x\, dx\ \Rightarrow \ x\, dx=\frac{dt}{2}\ \Big]=\\\\\\x_1=0\ \ \to \ \ t_1=0^2+9=9\\\\x_2=4\ \ \to \ \ t_2=4^2+9=25\\\\=\int\limits_9^{25}\, \sqrt{t}\, \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\limits_9^{25}\, t^{^{\frac{1}{2}}}\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\, \Big|_9^{25}=\frac{\sqrt{t^3}}{3}\, \Big|_9^{25}=\frac{1}{3}\cdot \Big(\sqrt{25^3}-\sqrt{9^3}\Big)=$

$\bf \displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \Big(25\sqrt{25}-9\sqrt{9}\Big)=\frac{1}{3}\cdot \Big(25\cdot 5-9\cdot 3\Big)=\frac{1}{3}\cdot \Big(125-27\Big)=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot 98=\frac{98}{3}=32\frac{2}{3}$