Question

Найдите число целых решений неравенства √3-x >√x²-4x+3.

Answer 1

Ответ:

х ∈ (0; 1]

⇒ неравенство имеет один целый корень -  {1}.

Объяснение:

Найдите число целых решений неравенства:

$\displaystyle \bf \sqrt{3-x} > \sqrt{x^2-4x+3}$

• Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ:

$\displaystyle \left \{ {{3-x\geq 0} \atop {x^2-4x+3\geq 0}} \right.$

1) 3 - x ≥ 0   ⇒   x ≤ 3

2) x² - 4x + 3 ≥ 0

Решим методом интервалов.

Найдем корни уравнения

x² - 4x + 3 = 0

По теореме Виета

х₁ = 1;     х₂ = 3

Определим знаки на промежутках:

$+++[1]---[3]+++$

⇒  x ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)              

$\displaystyle \left \{ {{3-x\geq 0} \atop {x^2-4x+3\geq 0}} \right.\;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{x\leq 3} \atop {x\leq 1; x\geq 3}} \right. \;\;\;\Rightarrow \;\;\;x\leq 1$

ОДЗ = x ∈ (-∞; 1]

$\displaystyle \bf \sqrt{3-x} > \sqrt{x^2-4x+3}\\\\3-x > x^2-4x+3\\\\-x^2+3x > 0\;\;\;\;\;|\cdot(-1)\\\\x^2-3x < 0\\\\x(x-3) < 0$

Найдем корни уравнения

х (х - 3) = 0

x₁ = 0;     x₂ = 3

$+++(0)---(3)+++$

x ∈ (0; 3)

Учитывая ОДЗ, получим ответ:

х ∈ (0; 1]

⇒ неравенство имеет один целый корень -  {1}.

#SPJ1