Question

Точка О центр окружности, AB хорда, равная радиусу. Чему равен радиус окружности, если периметр треугольника АОВ - 24 см.

а) 4см б) 8см в) 10см г) 12см​

Answer 1

Так как точка О - центр окружности, то расстояние от центра до хорды AB равно r. Поэтому, если мы проведем перпендикуляр к хорде AB из центра О, он разделит хорду AB пополам и создаст два прямоугольных треугольника OAB.

Так как хорда AB равна радиусу, то треугольник OAB является равнобедренным, и мы можем найти длину каждой из его сторон, используя теорему Пифагора:

OA = OB = √(r^2 - (AB/2)^2) = √(r^2 - r^2/4) = √(3r^2/4) = r√3/2

Также нам дан периметр треугольника AOV, который составляет 24 см. Мы можем записать это как:

AO + OV + AV = 24

Так как AO = OB = r√3/2, то мы можем переписать это уравнение как:

r√3/2 + r + AV = 24

Так как AV = AO + OV = 2r - r√3/2, то мы можем дальше переписать уравнение как:

r√3/2 + r + 2r - r√3/2 = 24

Упрощая это выражение, мы получаем:

3r = 24

r = 8

Таким образом, радиус окружности равен 8 см.