Доведіть, що якщо радіус кола, описаного навколо правильного дванадцятикутника, дорівнює R, то його сторона дорівнne R√2-3.
Ответы
Позначимо вершини правильного дванадцятикутника як A1, A2, ..., A12 і центр кола - як O. Тоді з'єднавши центр кола з кожною вершиною дванадцятикутника, ми отримаємо 12 радіусів, що являються бісектрисами кутів цього дванадцятикутника.
Звернемо увагу на трикутник A1OA2. Оскільки дванадцятикутник є правильним, то всі сторони і кути трикутника A1OA2 є рівні. Зокрема, кут A1OA2 ділиться бісектрисою OA на два рівні кути. Оскільки кут A1OA2 дорівнює 30° (оскільки це правильний дванадцятикутник), то ми отримуємо, що кожен з цих двох кутів дорівнює 15°.
Таким чином, у трикутнику A1OA2 ми знаємо кут 15° та радіус R. Знайдемо тепер сторону A1A2 за допомогою теореми синусів:
sin 15° = A1A2 / (2R).
Можна спростити це рівняння наступним чином:
A1A2 = 2R * sin 15° = R * (2 sin 15°) = R * (√6 - √2).
Тоді, використовуючи ідентичність √6 - √2 = (√6 - √3) - (√3 - √2), ми можемо записати:
A1A2 = R * (√6 - √3 + √2 - √3) = R * (√2 - 2√3).
Отже, сторона правильного дванадцятикутника дорівнює A1A2 = R * (√2 - 2√3), що, після спрощення, дає бажану формулу R√2-3.
Надеюсь помог
bXzy_q =)