Question

Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює 24 см³, а її висота 2√3 см. Знайти площу бічної поверхні конуса, вписаного у піраміду.

Answer 1

Позначимо сторону основи трикутної піраміди за a. Тоді, за формулою об'єму піраміди, маємо:

V = (1/3) * S_base * h,

де S_base - площа основи, h - висота піраміди. Підставляючи відповідні значення, маємо:

24 = (1/3) * (a^2 * sqrt(3)/4) * 2sqrt(3)

48 = a^2

a = 4√3

Тому, радіус вписаного конуса дорівнює

r = (1/3) * h = (1/3) * 2√3 = (2/3)√3,

а висота конуса дорівнює

H = √(a^2 - 4r^2) = √(48 - 16) = 4√2.

Отже, площа бічної поверхні конуса дорівнює

S_cone = π * r * l = π * (2/3)√3 * √(a^2 + H^2) = π * (2/3)√3 * √(48 + 64) = 16π см².