СРОЧНО!! даю 30 балов!
трапеция abcd основание bc ad бок стороны пересек в точке О, AB=12 BC=12 CD=15 AD=18 найти BO OC
Хорда окружности MK и CD пересикаются в точке A MA=6 см AK=15 CA:AD 2:5 Найти CA AD
Из точки A не лежащей на окружности проведена касательная AB и секущей AK которая пересикает окр-ть в точке К и P найти AP AK если AK:KP=1:3 AB=14
Ответы
Ответ:
Для решения первой задачи можно использовать теорему Пифагора и свойства трапеции.
Поскольку BC = AD, то трапеция ABCD является равнобедренной. Пусть M - середина AB, N - середина CD. Тогда OM и ON являются медианами трапеции ABCD, и пересекаются в точке O. Так как M и N являются серединами соответствующих сторон, то BM = MC = 6 и ND = DA/2 = 9. Также из равнобедренности трапеции следует, что BC = AD = 18.
Используя теорему Пифагора для треугольников BOM и CON, получаем:
BO^2 = BM^2 + OM^2 = 6^2 + (BC/2)^2 = 6^2 + 6^2 = 72,
OC^2 = CN^2 + ON^2 = (AD/2)^2 + 6^2 = 9^2 + 6^2 = 117.
Таким образом, BO = √72 = 6√2, OC = √117 = 3√13.
Ответ: BO = 6√2, OC = 3√13.
Для решения второй задачи можно использовать свойства хорд, секущих и касательных окружности.
Из условия CA:AD = 2:5 можно сделать вывод, что угол CAD равен α, а угол CDA равен 2α. Так как MA = 6, то MD = MC - MA = 9 - 6 = 3. Также из свойств хорд окружности следует, что ADCD = BDCD = CD^2/4, откуда CD = 20.
Используя теорему косинусов для треугольника ACD, получаем:
cos(α) = (AC^2 + CD^2 - AD^2) / (2ACCD) = (4/25 + 400/625 - 1) / (22/520/5) = 3/4.
Отсюда sin(α) = √(1 - cos^2(α)) = √(1 - 9/16) = 3/4.
Таким образом, CA = ACsin(α) = 4/53/420 = 12, AD = 5CA/2 = 30.
Ответ: CA = 12, AD = 30.
Для решения третьей задачи можно использовать свойства касательных и секущих окружности.
Из условия AK:KP = 1:3 можно сделать вывод, что KP = 3/4AB = 10.5. Также из свойств касательных и секущих окружности следует, что APAK = AB^2, откуда AP/AB = AB/AK =
1/4.
Из условия AB = 14 можно найти AK:
AK + KP = AB
AK + 3/4 AB = AB
AK = 1/4 AB = 3.5
Таким образом, AP = AP/AB * AB = 1/4 * 14 = 3.5, AK = 3.5, KP = AK * 3 = 10.5.
Ответ: AP = 3.5, AK = 3.5, KP = 10.5.