В вершине В прямоугольника ABCD восстановлен перпендику- ляр РВ к его плоскости. Найдите периметр прямоугольника, если PA=6, PD = 10, а угол между плос- костями APD и ABCD равен 60°.
Ответы
Відповідь:
МВ=2 см
Объяснение:
АВСD– прямоугольник. Проекции наклонных МА и МС перпендикулярны АD и СD. По т. о 3-х перпендикулярах наклонные МА и МС перпендикулярны АD и СD соответственно =>
∆ МАD – прямоугольный. По т.Пифагора AD²=MD²-MA²=81-36=45
∆ MCD – прямоугольный. По т.Пифагора DС²=MD²-MC²=81-49=32
Диагональ прямоугольника делит его на равные прямоугольные треугольники. => АВ=CD.
По т.Пифагора BD²=DC²+AD²=32+45=77
MB⊥BD => ∆ MBD – прямоугольный.
По т.Пифагора MB²=MD²-BD²=81-77=4
MВ=√4=2 см.
удачи брооооо
Пусть точка M - середина отрезка AB, тогда BM=AM=x, а CD=AB=2x. Из прямоугольного треугольника PDM с гипотенузой PD и углом между катетами 60 градусов находим значение PM:
PM = PD * sin(60) = 10 * √3 / 2 = 5√3
Также из прямоугольного треугольника PAB с гипотенузой PA и катетами PM и x находим значение PA:
PA^2 = PM^2 + x^2
36 = 75 + x^2 - 10x√3
x^2 - 10x√3 + 39 = 0
Решая это уравнение, находим x = 3√3 и x = 7√3. Так как x не может быть больше CD/2=√48, то x=3√3.
Теперь можем найти остальные стороны прямоугольника:
AB = CD = 2x = 6√3
BC = AD = √(AB^2 + AD^2) = √(108 + 100) = 2√67
Периметр прямоугольника равен:
P = 2(AB + BC) = 2(6√3 + 2√67) ≈ 27,5