Question

4. а) Найдите производную функции y = √3x² - 5x+2;. b) Запишите уравнение касательной к графику функции y = √3x² - 5х + 2 в точке (2;1) . 5. Прямоугольный участок площадью 4900 м² огораживают забором. Каковы должны быть размер участка, чтобы на забор ушло наименьшее количество материала? Решите задачу с помощью произ водной.​

Answer 1

Ответ:

4. а) $\displaystyle \bf y'=\frac{6x-5}{2\sqrt{3x^2-5x+2} }$

б)   $\displaystyle \bf y_{kac}=1\frac{3}{4}x-1\frac{1}{2}$

5. Чтобы на забор ушло наименьшее количество материала, участок должен быть квадратным с размерами 70 м × 70 м.

Объяснение:

4. а) Найдите производную функции y = √3x² - 5x+2; b) Запишите уравнение касательной к графику функции y = √3x² - 5х + 2 в точке (2;1).

5. Прямоугольный участок площадью 4900 м² огораживают забором. Каковы должны быть размер участка, чтобы на забор ушло наименьшее количество материала? Решите задачу с помощью произ водной.​

4. a) $\displaystyle \bf y=\sqrt{3x^2-5x+2}=(3x^2-5x+2)^{\frac{1}{2} }$

• Формулы:

(uⁿ)' = nuⁿ⁻¹·u';     С' = 0, где С - const

Найдем производную:

$\displaystyle \bf y'=\frac{1}{2} (3x^2-5x+2)^{-\frac{1}{2} }\cdot (3x^2-5x+2)'=\\\\=\frac{6x-5}{2\sqrt{3x^2-5x+2} }$

б) Записать уравнение касательной в точке  х₀ = 2.

• Уравнение касательной в точке х₀:

         y кас. = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Найдем значение функции в точке х₀ = 2:

$\displaystyle \bf f(x_0)=y(2)=\sqrt{3\cdot4-5\cdot2+2}=\sqrt{4}=2$

Найдем значение произволной функции в точке х₀ = 2:

$\displaystyle \bf f'(x_0)=y'(2)=\frac{6\cdot2-5}{2\sqrt{3\cdot2-5\cdot2+2} } =\frac{7}{4}$

Запишем уравнение касательной:

$\displaystyle \bf y_{kac}=2+\frac{7}{4}(x-2)=2+\frac{7}{4} x-\frac{7}{2}=\frac{7}{4}x-\frac{3}{2} =1\frac{3}{4} x-1\frac{1}{2}$

⇒   $\displaystyle \bf y_{kac}=1\frac{3}{4}x-1\frac{1}{2}$

4. В данном задании нужно определить наименьший периметр прямоугольного участка.

Пусть стороны прямоугольного участка а и b.

• Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

                          S = ab  

⇒ 4900 = ab

Выразим а:

а = 4900/b

• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме смежных сторон.

                Р = 2(a + b)

$\displaystyle P=2\left(\frac{4900}{b}+b\right)$

Найдем производную:

$\displaystyle P'=2\left(\frac{4900}{b}+b\right)'=2\left(-\frac{4900}{b^2}+1\right)= \\\\=2\left(\frac{b^2-4900}{b^2}\right)$

Приравняем P' к нулю и найдем корни.

(b - 70)(b + 70) = 0

b₁ = 70;     b₂ = -70

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

Не забываем про b ≠ 0.

$+++[-70]---(0)---[70]+++$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ b min = 70

Тогда a min = 4900 : 70 = 70

⇒ Периметр прямоугольного участка будет наименьшим при а = 70 м; b = 70 м, то есть - квадрат.

#SPJ1