4. Сумма кубов двух положительных последовательных чисел равна 189, а сумма утроенного произведения квадрата первого последовательного числа на второе последовательное число и утроенного произведения первого последовательного числа на квадрат второго последовательного числа равна 540. Найдите эти числа.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Назвемо перше послідовне число "x", тоді друге послідовне число буде "x+1".
За умовою задачі це відомо:
x^3 + (x+1)^3 = 189
Розкладаючи ліву частину рівняння, отримуємо:
x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 189
Спрощуючи, отримуємо:
2x^3 + 3x^2 + 3x - 188 = 0
Тепер подивимось на другу частину умови задачі:
3x^2(x+1) + 3x(x+1)^2 = 540
Розгорнувши ліву частину рівняння, отримаємо:
3x^3 + 9x^2 + 6x = 540
Спрощуючи, отримаємо:
x^3 + 3x^2 + 2x - 180 = 0
Тепер ми маємо два рівняння з двома невідомими, тому можемо використати метод підстановки для знаходження x:
З першого рівняння ми можемо знайти x^3 через x:
x^3 = 189 - (x+1)^3
Підставивши це у друге рівняння, отримаємо:
(189 - (x+1)^3) + 3x^2 + 2x - 180 = 0
Спрощуючи, отримуємо:
-x^3 + 3x^2 + 2x + 9 = 0
Тепер ми можемо знайти x за допомогою чисельного методу, наприклад, Ньютона-Рафсона або методу бісектриси. Однак, ми також можемо зробити обґрунтоване припущення, помітивши, що розв'язок має бути між 5 і 6 (оскільки куб будь-якого числа, більшого за 6, більший за 189). Перебираючи значення в цьому діапазоні, ми знаходимо, що x = 5 є розв'язком.
Отже, два числа, що йдуть підряд, - це 5 і 6.