Сума перших членів геометричної прогресії дорівнює 168, а сума наступних трьох дорівнює 21. Знайдіть суму перших п'яти членів прогресії.
S5=
Ответы
Для розв'язання задачі ми можемо скористатися формулою для суми n перших членів геометричної прогресії:
Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q),
де Sn - сума n перших членів прогресії, a1 - перший член прогресії, q - знаменник прогресії.
Позначимо перший член прогресії як a, а знаменник як q. Тоді:
а + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168, (1)
aq^5 + aq^6 + aq^7 = 21. (2)
Можемо помножити обидві частини (1) на q, отримаємо:
aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 = 168q. (3)
Після цього можемо відняти (2) від (3):
a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168q - (aq^5 + aq^6 + aq^7) = 168q - aq^5 * (1 + q + q^2),
або
a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 * (1 + q + q^2) = 168q. (4)
Тепер можемо виразити суму перших п'яти членів прогресії, використовуючи формулу для Sn:
S5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168q/(1 + q + q^2).
Залишається знайти значення q, щоб визначити S5. Для цього можемо скористатися другим рівнянням (2), з якого можна виразити aq^5:
aq^5 = (21 - aq^6 - aq^7),
і підставити в рівняння (1):
a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + (21 - aq^6 - aq^7) = 168,
або
aq^7 + aq^6 + aq^5 - aq^4 - aq^3 - aq^2 - aq + 147 = 0.
Це рівняння має розв'язок q = 2. Підставляючи це значення q у формулу для S5, маємо:
S5 = 336/7 = 48.
Отже, сума перших п'яти членів прогресії дорівнює 48.