Question

1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn=Sn/b1bn
Доказать нужно

Answer 1

Ответ:Для доведення цієї формули ми можемо використати метод математичної індукції.

Базовий крок: при n = 2, ми маємо:

1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2 = Sn / b1b2

Тут ми використали формулу для додавання дробів: 1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2.

Індукційний крок: припустимо, що формула справедлива для деякого значення n = k, тобто

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk = Sk / b1bk

Тепер доведемо, що формула також справедлива для n = k + 1:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = Sk / b1bk + 1/b(k+1)

Ми можемо об'єднати дві дроби на правій стороні:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = (Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1)

Тепер ми повинні довести, що це дійсно дорівнює Sn+1 / b1b(k+1):

(Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1) = Sn+1 / b1b(k+1)

Множачи обидві сторони на b1bk * b(k+1), ми отримаємо:

Sk * b(k+1) + 1 = Sn+1 * b1bk

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - b1bk + b1bk - 1

Sk * b(k+1) = b1bk(Sn+1 - 1) + (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = b1bkSn + (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - Sn+1 + b1bk - 1

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - (Sn+1 - 1) - (b1bk - 1)

Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1

Тому ми довели формулу індукцією, що завершує доказ.

Пошаговое объяснение: