1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn=Sn/b1bn
Доказать нужно
Ответы
Ответ:Для доведення цієї формули ми можемо використати метод математичної індукції.
Базовий крок: при n = 2, ми маємо:
1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2 = Sn / b1b2
Тут ми використали формулу для додавання дробів: 1/b1 + 1/b2 = (b2 + b1) / b1b2.
Індукційний крок: припустимо, що формула справедлива для деякого значення n = k, тобто
1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk = Sk / b1bk
Тепер доведемо, що формула також справедлива для n = k + 1:
1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = Sk / b1bk + 1/b(k+1)
Ми можемо об'єднати дві дроби на правій стороні:
1/b1 + 1/b2 + ... + 1/bk + 1/b(k+1) = (Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1)
Тепер ми повинні довести, що це дійсно дорівнює Sn+1 / b1b(k+1):
(Sk * b(k+1) + 1) / b1bk * b(k+1) = Sn+1 / b1b(k+1)
Множачи обидві сторони на b1bk * b(k+1), ми отримаємо:
Sk * b(k+1) + 1 = Sn+1 * b1bk
Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1
Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - b1bk + b1bk - 1
Sk * b(k+1) = b1bk(Sn+1 - 1) + (b1bk - 1)
Sk * b(k+1) = b1bkSn + (b1bk - 1)
Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - Sn+1 + b1bk - 1
Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - (Sn+1 - 1) - (b1bk - 1)
Sk * b(k+1) = Sn+1 * b1bk - 1
Тому ми довели формулу індукцією, що завершує доказ.
Пошаговое объяснение: