Question

исследовать положительный ряд на сходимость ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n^3+2}}{n^2\cdot\sin^2n}.$ Заметим, во-первых, что знаменатель не обращается в ноль ни при каких n - ведь если $\sin n=0,$ то $n=\pi k,$ а тогда $\pi=\frac{n}{k},$ что противоречит иррациональности числа $\pi.$ Имеем:

                      $a_n=\dfrac{\sqrt{n^3+2}}{n^2\cdot\sin^2n} > \dfrac{\sqrt{n^3}}{n^2}\ge\dfrac{n}{n^2}=\dfrac {1}{n}=b_n.$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ расходится (это всем известный гармонический ряд), поэтому исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

2) $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{n^3}{(\ln n)^n}.$ Обращаю внимание на то, что суммировать нужно не с n=1, а с  n=2, чтобы знаменатель не обращался в ноль.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

                       $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt[n]{n})^3}{\ln n}=\dfrac{1}{\infty}=0 < 1\Rightarrow$

ряд сходится.

Для доказательства того, что числитель стремится к 1, можно применить правило Лопиталя:

 $\lim\limits_{x\to \infty}x^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln x^{1/x}}=e^{\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{x'}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}}=e^0=1.$