Question

Найдите значение соs 2а и tg 2а, если п/2< a<П сина=2/5​

Answer 1

Ответ:

Найти  cos2a  и  tg2a  .

$\bf sin\, a=\dfrac{2}{5}\ \ ,\ \ \ \dfrac{\pi }{2} < a < \pi$  

Так как   $\bf \dfrac{\pi }{2} < a < \pi$   ,   то   $\bf cos\, a < 0$  .

$\bf cos\, a=-\sqrt{1-sin^2a}=-\sqrt{1-\dfrac{4}{25}}=-\sqrt{\dfrac{21}{25}}=-\dfrac{\sqrt{21}}{5}$  

Применяем формулы двойных углов.

$\bf cos2a=cos^2a-sin^2a=\dfrac{21}{25}-\dfrac{4}{25}=\dfrac{17}{25}\\\\\\sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=-2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{\sqrt{21}}{5}=-\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\\\\\\tg2a=\dfrac{sin2a}{cos2a}=-\dfrac{4\sqrt{21}}{17}$

             

Answer 2

Ответ:

$cos2\alpha =\frac{17}{25};$

$tg2\alpha =-\frac{4\sqrt{21} }{17} .$

Решение:

$cos2\alpha -?,tg2\alpha -?$

$sin\alpha =\frac{2}{5} , \frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$

→ Первое, что нам нужно определить - в какой четверти находится угол α. Для этого обратимся к тригонометрической единичной окружности (см. вложение).
Мы видим, что $\alpha$ находится между точками $\frac{\pi }{2}$ и $\pi$. Следовательно угол $\alpha$ находится во II четверти. Отсюда следует, что:

$sin\alpha > 0,\\cos\alpha < 0,\\tg\alpha < 0,\\ctg\alpha < 0;$

Теперь приступим к вычислениям.

→ Сейчас нам известно лишь то, что $sin\alpha =\frac{2}{5}$. Зная синус угла мы всегда можем найти косинус того же угла, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством:

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;$

Следовательно:

$cos^{2} \alpha =1-sin^{2} \alpha;$

Значит:

$cos^{2} \alpha =1 - (\frac{2}{5} )^{2} ;\\cos^{2} \alpha =1 - \frac{4}{25} ;\\cos^{2} \alpha = \frac{25}{25} -\frac{4}{25};\\cos^{2} \alpha =\frac{21}{25} ;$

$cos \alpha =$ ± $\sqrt{\frac{21}{25} };$

$cos\alpha =$ ± $\frac{\sqrt{21} }{\sqrt{25} };$

$cos\alpha =$ ± $\frac{\sqrt{21} }{5}$.

Итак, мы получили, что $cos\alpha$ равен либо $\frac{\sqrt{21} }{5}$, либо $-\frac{\sqrt{21} }{5}$. Какой же вариант нам подходит? Для ответа на это  вопрос обратимся к началу нашего решения. Там мы обозначили, что $cos\alpha < 0$, отсюда следует, что нам подходит лишь один вариант вариант:  $cos\alpha =-\frac{\sqrt{21} }{5}$.

→ Зная синус и косинус угла мы можем найти косинус двойного угла, воспользовавшись формулой:

$cos2\alpha =cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha ;$

(!) Данную формулу мы можем вывести из более общей формулы косинуса суммы двух углов:

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha *cos\beta - sin\alpha *sin\beta;$

Тогда нужно представить косинус двойного угла, как косинус суммы двух углов (в нашем случае, равных):

$cos(\alpha +\alpha )=cos\alpha *cos\alpha - sin\alpha *sin\alpha ;\\cos(\alpha +\alpha )= cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha ;\\cos2\alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha.$

Значит:

$cos2\alpha = (\frac{\sqrt{21} }{5})^{2} -(\frac{2}{5} )^{2} ;\\cos2\alpha = \frac{21}{25}-\frac{4}{25} ;\\cos2\alpha =\frac{17}{25}.$

→ Итак, нам осталось найти $tg2\alpha$. Для этого найдём $tg\alpha :$

$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha } ;\\tg\alpha = \frac{\frac{2}{5} }{-\frac{\sqrt{21} }{5} } ;\\tg\alpha =-(\frac{2}{5} :\frac{\sqrt{21} }{5});\\tg\alpha =-(\frac{2}{5} *\frac{5}{\sqrt{21} } );\\tg\alpha =-\frac{2*5}{5*\sqrt{21} } ;\\tg\alpha =-\frac{2}{\sqrt{21} } .$

Зная тангенс угла, несложно найти тангенс двойного угла. Воспользуемся формулой:

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-tg^{2} \alpha } ;$

Значит:

$tg2\alpha =\frac{2*(-\frac{2}{\sqrt{21} } )}{1-(-\frac{2}{\sqrt{21} } )^{2} } ;\\tg2\alpha = \frac{-2*\frac{2}{\sqrt{21} } }{1-\frac{4}{21} } ;\\tg2\alpha =-\frac{\frac{2*2}{\sqrt{21} } }{\frac{21}{21} -\frac{4}{21} } ;\\tg2\alpha =-\frac{4}{\sqrt{21} } :\frac{17}{21} ;\\tg2\alpha =-\frac{4}{\sqrt{21} } *\frac{21}{17} ;\\tg2\alpha =-\frac{4*21}{\sqrt{21}*17 } ;\\tg2\alpha =-\frac{4*\sqrt{21} *\sqrt{21} }{\sqrt{21}*17 } ;\\tg2\alpha =-\frac{4\sqrt{21} }{17} .$

__________
Удачи Вам! :)