Question

Соотношение сторон прямоугольного треугольника 5:12. Если радиусы окружностей, нарисованных снаружи и внутри этого треугольника, равны 9 см, найдите наименьший катет данного треугольника. ​

Answer 1

Ответ:

Пусть катеты прямоугольного треугольника имеют длины 5x и 12x, соответственно, где x - некоторое положительное число. Тогда гипотенуза имеет длину 13x.

Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленной на полупериметр треугольника:

r = (a + b - c)/2, где a и b - катеты, c - гипотенуза

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

P = a + b + c

Тогда полупериметр равен:

p = (a + b + c)/2 = (5x + 12x + 13x)/2 = 15x

Таким образом, радиус вписанной окружности равен:

r = (a + b - c)/2 = (5x + 12x - 13x)/2 = 2x

Также известно, что радиус описанной окружности равен 9 см. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

R = c/2 = 13x/2 = 9 см

Решив уравнение, найдем значение x:

13x/2 = 9

x = 9/13 * 2

Тогда длина катета, соответствующего меньшей стороне, равна:

5x = 5 * 9/13 * 2 = 90/13

Наименьший катет данного треугольника равен 90/13 см.