У кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 3) точки E, E1, K, K1, P, Pi i F, F1 є серединами відповідних ребер. Знайдіть відстань між площинами (P1PE) і (F1K1K), якщо ребро куба дорівнює 6.
Ответы
Ответ:
Оскільки P і P1 лежать на діагоналі куба ABCDA1B1C1D1, то вони рівновіддалені від вершин A і D1, тобто відрізок P1P паралельний відрізку AD1.
Аналогічно, відрізок K1F1 паралельний BC і F1F паралельний A1D.
Отже, ми можемо розглядати площини (P1PE) і (F1K1K) як площини, які проходять через паралельні прямі P1P і K1F1.
Оскільки P і F1 є серединами ребер AB і A1D1 відповідно, то P1F1 || AB || A1D1. Це означає, що відрізок P1F1 є діагоналлю грані A1B1F1P1 паралелепіпеда, в якому грань A1B1F1K1 є основою.
За теоремою Піфагора для трикутника P1F1K1 знаходимо:
|P1K1|² = |P1F1|² + |F1K1|²
Для цього треба знайти довжини векторів P1F1 і F1K1. Оскільки P1F1 || AB || A1D1 і F1K1 || BC || A1D, то ми можемо використати довжини відрізків AB і BC, щоб знайти довжини векторів P1F1 і F1K1.
Оскільки ребро куба дорівнює 6, то AB = BC = A1D1 = 6. Оскільки E і E1 є серединами ребер AD і A1D1 відповідно, то EE1 || AD і EE1 = AD1 / 2. Таким чином, ми можемо знайти довжину вектора P1E1, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника E1A1P1:
|P1E1|² = |E1A1|² + |A1P1|² = (A1D1 / 2)² + 3² = 27.
Оскільки P1E1 || P1E і P1E = EE1 / 2 = A1D1 / 4, то ми можемо знайти довжину вектора P1F1:
|P1F1|² = |P1E|² + |P1E1|² = (A1D1 / 4)² + 27 = 45/