(Даю 50 б.)
Основи AD i BC та діагональ АС трапеції ABCD відповідно дорівнюють 25 см, 4 см і 10 см. На стороні AD позначили точку F так, що СF||АВ.
1) Знайдіть кут ADC, якщо кут BAC дорівнює 25°.
2) Доведіть що пряма АС є дотичною до описаного кола трикутника DCF.
На русс:
Основания AD и BC и диагональ АС трапеции ABCD соответственно равны 25 см, 4 см и 10 см. На стороне AD обозначили точку F так, что СF||АВ.
1) Найдите угол ADC, если угол BAC равен 25°.
2) Докажите, что прямая АС имеет отношение к описанной окружности треугольника DCF.
Ответы
Ответ:В треугольнике ABC угол BAC = 25°, тогда угол BCA = 180° - 2*25° = 130° (по свойствам угла треугольника). Также, по условию трапеции, угол BCD = угол DAC, обозначим его как х. В треугольнике ADC значение равно 180°, поэтому угол ADC = 180° - угол DAC - угол CDA = 180° - х - (180° - 130°) = 50°. Ответ: угол ADC = 50°.
Построим вертикаль из точки C на максимальном значении DF, что соответствует точке пересечения как E. Тогда в треугольнике CFE угол CFE = 90°, угол CEF = угол DCF (так как SF||AB), а угол CFE = угол CDF (как вертикальные углы) . Таким образом, угол DCF = угол CEF. В треугольнике DCF угол CDF = 180° - угол DFC - угол CFD = 180° - угол BAC/2 - угол CEF. Также, угол CFE = 90°, поэтому угол CEF прямоугольный, а угол CEF = 90° - угол BAC/2. Тогда угол DCF = угол CEF = 90° - угол BAC/2. Таким образом, угол CDF = 180° - (90° - угол BAC/2) - угол CEF = 90° + угол BAC/2 - угол CEF = 90°. Значит, прямая АС проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, и, следовательно, является описанной формой окружности треугольника DCF. Также, по свойствам окружности, угол DCF = 90°. Ответ: прямая АС представляет собой описанную окружность треугольника DCF.
Объяснение: все расписано