Через кінець радіуса сфери проведено площину під кутом 30° до цього радіуса. Знайдіть площу сфери, якщо довжина лінії перетину сфери і площини дорівнює 12л см.
Ответы
Відповідь:
16πл²
Пояснення:
Позначимо центр сфери як O, а точку перетину радіуса і площини як A.
Зазначимо, що OA є радіусом сфери, тоді OB є нашою лінією перетину, а кут AOB дорівнює 30°.
Оскільки OA і OB є радіусами сфери, то вони мають однакову довжину, позначимо її як r.
Також позначимо довжину відрізка AB як d.
Оскільки кут AOB дорівнює 30°, то можна записати, що:
cos 30° = AB/OB
або
√3/2 = d/r
Звідси маємо:
d = (√3/2) r
Довжина відрізка OB може бути знайдена за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OAB:
OB² = OA² - AB²
OB² = r² - d²
OB² = r² - (3/4) r²
OB² = (1/4) r²
OB = (1/2) r
Таким чином, маємо:
d = (√3/2) r
OB = (1/2) r
Площа круга може бути знайдена за формулою:
S = 4πr²
Оскільки OB є діаметром круга, то маємо:
S = πOB²
S = π(1/4) r²
S = (π/4) r²
Тепер маємо вираз для площі сфери через довжину лінії перетину з площиною:
S = (π/4) r² = (π/3) (d/√3)²
S = (π/3) (12л/√3)²
S = 48πл²/3
S = 16πл²
Відповідь: площа сфери дорівнює 16πл².