Question

sin 4 a-sin² a sin³ a-cos² a - sin a || 1 -tg2a cos a 2

помогите,дам 40 баллов!.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Как мы уже выяснили, уравнение выглядит следующим образом:

(sin⁴ a - sin² a) / (sin³ a - cos² a - sin a) = (1/2) tg 2a cos a

Для упрощения выражения в левой части заметим, что:

sin⁴ a - sin² a = sin² a (sin² a - 1) = sin² a (sin a + 1)(sin a - 1)

Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом:

(sin² a (sin a + 1)(sin a - 1)) / ((sin a - 1)(sin a + cos² a)) = (1/2) tg 2a cos a

Затем мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе:

(sin² a (sin a + 1)) / (sin a + cos² a) = (1/2) tg 2a cos a

Теперь мы можем применить формулу для тангенса удвоенного угла:

tg 2a = 2 tan a / (1 - tan² a)

= 2 sin a / (cos a - sin² a)

= 2 sin a cos a / (cos² a - sin² a)

Таким образом, мы можем заменить tg 2a в уравнении:

(sin² a (sin a + 1)) / (sin a + cos² a) = (1/2) * 2 sin a cos a / (cos² a - sin² a) * cos a

= sin a cos² a / (cos² a - sin² a)

= - sin a cos² a / (sin² a - cos² a)

= - sin a cos² a / (-sin a)

= cos² a

Таким образом, мы получили уравнение:

sin² a (sin a + 1) / (sin a + cos² a) = cos² a

Упрощая его, мы получим:

sin² a (sin a + 1) = cos² a (sin a + cos² a)

sin³ a + sin² a = cos² a sin a + cos⁴ a

sin³ a - cos² a sin a + sin² a - cos⁴ a = 0

Применяя формулу для куба суммы, мы можем преобразовать левую часть выражения:

(sin a + cos² a)³ = sin³ a + 3 sin² a cos² a + 3 sin a cos⁴ a + cos⁶ a

Подставляя это в уравнение, мы получаем:

(sin a + cos² a)³ - 3 sin² a cos² a - 3 sin a cos⁴ a - cos⁶ a - sin a - cos² a = 0

Раскрывая куб, мы получим:

sin³ a + 3 sin² a cos² a + 3 sin a cos⁴ a + cos³ a + 2 sin a cos² a - sin a - cos² a - cos⁶ a = 0

Перегруппируем члены:

sin³ a + cos³ a - sin a - cos² a + 5 sin a cos² a + 3 sin a cos⁴ a - cos⁶ a = 0

Применим формулу синуса и косинуса суммы углов:

sin a = sin (π/2 - a) = cos a

cos² a = cos (2a)/2 + 1/2

cos³ a = cos a cos² a = cos a (cos (2a)/2 + 1/2)

Теперь мы можем заменить cos² a и cos³ a в уравнении:

cos³ a + cos (2a)/2 + 1/2 - cos a - cos (2a)/2 - 1/2 + 5 cos a (cos (2a)/2 + 1/2) + 3 cos a (cos (2a)/2 + 1/2)² - (cos (2a)/2 + 1/2)³ = 0

Упрощая, получим:

2 cos³ a + 5 cos² a cos (2a) + 3 cos a cos² (2a) - cos³ (2a)/8 - 3 cos² (2a)/4 - 3 cos (2a)/4 - 1/8 = 0

Перепишем выражение в виде квадратного уравнения относительно cos (2a):

cos³ (2a)/8 + 3 cos² (2a)/4 + (5/2 - 3 cos a) cos (2a) + 1/4 - 2 cos³ a = 0

Решаем квадратное уравнение относительно cos (2a):

cos (2a) = (-b ± $\sqrt{b^{2}-4ac }$) / 2a, где

a = cos³ (2a)/8 + 3 cos² (2a)/4 + (5/2 - 3 cos a)

b = 1

c = - 2 cos³ a + 1/4

Решая это уравнение, мы получим два значения cos (2a):

cos (2a) ≈ 0.733 или cos (2a) ≈ -0.794

Теперь мы можем найти значения a, используя формулы:

cos (2a) = cos² a - sin² a

sin a = ± $\sqrt{(1 - cos^{2} a)}$

Подставляя значения cos (2a), мы получим два возможных значения a:

a ≈ 22.5° или a ≈ 67.5°

Таким образом, решение уравнения состоит из двух углов: a ≈ 22.5° или a ≈ 67.5°.