Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!
Знайдіть усі натуральні значення я, при яких виконуються нерівність 3^n >= 12n-9

Answer 1

Для розв'язання цієї нерівності, ми можемо скористатися методом математичної індукції:

Перевірка для n=1:

3^1 >= 12(1)-9

3 >= 3

Умова виконується.

Припустимо, що нерівність виконується для певного значення n = k, тобто:

3^k >= 12k-9

Доведемо, що це припущення також справедливе для n = k+1:

3^(k+1) >= 12(k+1)-9

3*3^k >= 12k+3

3^k >= 4k+1

Тепер ми можемо використати припущення з кроку 2 і отримати:

4k+1 <= 3^k, оскільки 3^k >= 12k-9

4(k+1)-3 <= 3^k

4(k+1) <= 3^k+3

Залишається показати, що ця нерівність виконується для всіх натуральних значень k. Ми можемо це зробити шляхом індукції, але можемо також просто порівняти значення 3^k+3 та 4(k+1) для кількох перших значень k:

k = 1: 3^1+3 = 6 < 8 = 4(1+1)

k = 2: 3^2+3 = 12 = 12

k = 3: 3^3+3 = 30 > 16 = 4(3+1)

Як ми бачимо, нерівність виконується для k = 2 та всіх більших значень k. Тому всі натуральні значення, для яких виконується нерівність, - це 1 та всі натуральні числа більше за 2.

Відповідь: {1} U {n ∈ N : n > 2}.