Докажите, что четырёхугольник КНМР с вершинами в точках К(12; 6), Н(0;11), М(5;1), Р(7;6) является квадратом.
Ответы
Для того, чтобы доказать, что четырёхугольник КНМР является квадратом, нужно убедиться в выполнении двух условий:
все стороны равны между собой;
все углы прямые (равны 90 градусов).
Для этого можно воспользоваться формулами расстояния между двумя точками и проверить, что стороны равны между собой, а также что углы прямые.
Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) вычисляется по формуле:
AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
Таким образом, длины сторон четырёхугольника КНМР можно вычислить следующим образом:
KN = √[(0 - 12)² + (11 - 6)²] = √[144 + 25] = √169 = 13
NM = √[(5 - 0)² + (1 - 11)²] = √[25 + 100] = √125 = 5√5
MR = √[(7 - 5)² + (6 - 1)²] = √[4 + 25] = √29
RK = √[(7 - 12)² + (6 - 11)²] = √[25 + 25] = √50 = 5√2
Теперь нужно проверить, что все стороны равны между собой:
KN = MR = RK = 13
NM = 5√5
Таким образом, первое условие выполнено.
Чтобы проверить второе условие, нужно убедиться в том, что все углы прямые. Для этого можно вычислить углы между сторонами с помощью формулы:
cos α = (a² + b² - c²) / 2ab
где a, b, c - длины сторон треугольника, а α - угол между сторонами a и b.
Таким образом, углы между сторонами KN и NM, NM и MR, MR и RK, а также RK и KN можно вычислить следующим образом:
cos α1 = (13² + (5√5)² - 13²) / (2 * 13 * 5√5) = 0
cos α2 = ((5√5)² + √29² - 13²) / (2 * 5√5 * √29) = 0
cos α3 = (13² + √29² - (5√2)²) / (2 * 13 * √29) = 0
cos α4 = ((5√2)² + (5√5)² -13²) / (2 * 5√2 * 5√5) = 0
Все значения cos α равны нулю, что означает, что все углы между сторонами равны 90 градусов. Таким образом, второе условие также выполнено.
Из выполняющихся двух условий следует, что четырёхугольник КНМР является квадратом.
Ответ:
Объяснение:
Если докажем, что КН=НМ=МР=КР и например (КН) и (НМ) взаимно перпендикулярны, то докажем, что КНМР - квадрат.
КН² = (Xk-Xh)²+(Yk-Yh)² =(12-0)²+(6-11)²=144+25=169
HM²= (Xm-Xh)²+(Ym-Yh)² =(5-0)²+(1-11)²=100+25=125
Далее считать нет смысла так как КН≠НМ => КНМР квадратом не является