Срочно, пожалуйста
ДОВЕДІТЬ, що чотирикутник ABCD з вершинами A(-2; 3), B(2; 7), C(6;3), D(2;-1) є квадратом.
Ответы
Ответ:
Щоб довести, що чотирикутник ABCD є квадратом, потрібно показати, що всі його сторони мають однакову довжину і всі кути прямі.
Для цього, спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника ABCD, використовуючи формулу відстані між двома точками:
AB = √[(2-(-2))^2 + (7-3)^2] = √[16 + 16] = 4√2
BC = √[(6-2)^2 + (3-7)^2] = √[16 + 16] = 4√2
CD = √[(2-6)^2 + (-1-3)^2] = √[16 + 16] = 4√2
DA = √[(-2-2)^2 + (3-(-1))^2] = √[16 + 16] = 4√2
Отже, всі сторони чотирикутника ABCD мають довжину 4√2, що свідчить про те, що всі сторони мають однакову довжину.
Тепер знайдемо вектори, що відповідають діагоналям чотирикутника ABCD:
AC = <6 - (-2), 3 - 3> = <8, 0>
BD = <2 - 2, 7 - (-1)> = <0, 8>
Оскільки діагоналі AC і BD мають однакову довжину, то чотирикутник ABCD є рівнобічним (або ромбом). Також, оскільки вектори AC і BD перпендикулярні між собою (їх добуток дорівнює 0), то всі кути чотирикутника ABCD прямі.
Отже, чотирикутник ABCD має всі сторони однакової довжини і всі кути прямі, що свідчить про те, що він є квадратом.