Помогите пж
√3cosx-√2cos2x+√3sinx=0
Ответы
Для решения этого уравнения можно использовать тригонометрические тождества для упрощения его:
√3cos(x) - √2cos(2x) + √3sin(x) = 0
Мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса, чтобы выразить cos(2x) через cos(x):
cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
Подставляя это в уравнение, получаем:
√3cos(x) - √2(2cos^2(x) - 1) + √3sin(x) = 0
Далее упрощаем выражение:
-√2cos^2(x) + √3cos(x) - √2 + √3sin(x) = 0
Мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы решить уравнение относительно sin(x):
sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))
Подставляя это в уравнение, получаем квадратное уравнение относительно cos(x):
-√2cos^2(x) + √3cos(x) - √2 + √3(±√(1 - cos^2(x))) = 0
Решая уравнение относительно cos(x), получаем два возможных решения:
cos(x) = (√2 ± √3)/4
Чтобы решить уравнение относительно sin(x), мы можем подставить каждое значение cos(x) в тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и решить уравнение относительно sin(x):
sin(x) = ±√(1 - cosДля решения этого уравнения можно использовать тригонометрические тождества для упрощения его:
√3cos(x) - √2cos(2x) + √3sin(x) = 0
Мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса, чтобы выразить cos(2x) через cos(x):
cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
Подставляя это в уравнение, получаем:
√3cos(x) - √2(2cos^2(x) - 1) + √3sin(x) = 0
Далее упрощаем выражение:
-√2cos^2(x) + √3cos(x) - √2 + √3sin(x) = 0
Мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы решить уравнение относительно sin(x):
sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))
Подставляя это в уравнение, получаем квадратное уравнение относительно cos(x):
-√2cos^2(x) + √3cos(x) - √2 + √3(±√(1 - cos^2(x))) = 0
Решая уравнение относительно cos(x), получаем два возможных решения:
cos(x) = (√2 ± √3)/4
Чтобы решить уравнение относительно sin(x), мы можем подставить каждое значение cos(x) в тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и решить уравнение относительно sin(x):
sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))
Когда cos(x) = (√2 + √3)/4, мы получаем:
sin(x) = ±√(1 - [(√2 + √3)/4]^2) = ±√(11 - 5√6)/4
Когда cos(x) = (√2 - √3)/4, мы получаем:
sin(x) = ±√(1 - [(√2 - √3)/4]^2) = ±√(5√2 - 7)/4
Таким образом, решениями уравнения являются:
x = 2nπ ± arccos((√2 + √3)/4) ± arcsin(±√(11 - 5√6)/4)
x = 2nπ ± arccos((√2 - √3)/4) ± arcsin(±√(5√2 - 7)/4)
где n - целое число.
Эти решения можно записать более компактно, используя формулы для синуса и косинуса суммы углов:
x = 2nπ ± arctan(√(11 - 5√6)/(2√6 + 2)) ± arctan(√3/(2√6 + 2))
x = 2nπ ± arctan(√(5√2 - 7)/(2√2 - 2)) ± arctan(√3/(2√2 - 2))
Это окончательные ответы. Для каждого целого числа n эти формулы дают все возможные значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.