Question

Найдите количество целых n, для которых 4n^4 + 1 является простым числом.​

Answer 1

Ответ:

Замітимо, що якщо число n - парне, то 4n^4 + 1 буде не парним, а тому не буде простим, тому що його можна буде розкласти на добуток двох чисел: 2 та (2n^2 + 1), які більше за 1.

Отже, шукати прості числа можна лише серед непарних значень n. Запишемо, що:

4n^4 + 1 = (2n^2 + 2n + 1)(2n^2 - 2n + 1).

Можна перевірити, що обидва множники цілі та більші за 1, коли n > 0. Таким чином, щоб 4n^4 + 1 було простим, потрібно, щоб хоча б один з множників був рівним 1. Але це неможливо, оскільки обидва множники більші за 1 при n > 0.

Отже, немає жодного цілого числа n, для якого 4n^4 + 1 є простим числом.