Question

тригонометричні рівняння!

2 рівняння ​

Answer 1

Ответ:

1)  Однородное тригонометрическое уравнение .

$\bf 2sin^2x-2,5\, sin2x-3cos^2x=0\ \ ,\ \ \ \ \ sin2x=2\, sinx\cdot cosx\ ,\\\\2sin^2x-5\, sinx\cdot cosx-3cos^2x=0\ \Big|:cos^2x\ne 0\ \ ,\\\\2\, tg^2x-5\, tgx-3=0\\\\t=tgx\ \ ,\ \ \ 2t^2-5t-3=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=25+24=49\ ,\\\\t_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ t_2=\dfrac{5+7}{4}=3\\\\a)\ \ tgx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=-arcstg\dfrac{1}{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\ \ .\\\\b)\ \ tgx=3\ \ ,\ \ \ x=arcstg3+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z$

Ответ:  $\boldsymbol{x=-arcstg\dfrac{1}{2}+\pi n\ \ ,\ \ x=arctg3+\pi k\ \ ,\ \ n,k\in Z}$  .

 $\bf 2)\ \ \sqrt3\, sinx+cosx=2$  

Делим обе части равенства на   $\bf \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2$  , получим

$\bf \dfrac{\sqrt3}{2}\, sinx+\dfrac{1}{2}\, cosx=1\\\\cos\dfrac{\pi}{6}\cdot sinx+sin\dfrac{\pi}{6}\cdot cosx=1$

Получили формулу синуса суммы углов .

$\bf sin\Big(x+\dfrac{\pi}{6}\Big)=1\\\\x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi }{3}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$  

Ответ:  $\bf x=\dfrac{\pi }{3}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$  .