Question

У паралелограмі ABCD BC=m, кутBAC=а, кутСAD=ß
Знайдіть діагональ АС паралелограма.

Answer 1

Відповідь:

В паралелограмі протилежні сторони паралельні, тому AB || CD, і тоді кут CAD = CBA = a, оскільки вони доповнюються до прямого кута.

З розгляду трикутника ACD знаходимо:

sin(ß) = AC / AD

cos(ß) = CD / AD

Так як AB = CD, то BC = ABcos(ß) і тоді:

AC = ADsin(ß) = 2ADsin(ß)/2 = 2BCtan(ß/2) = 2m tan(ß/2).

З розгляду трикутника ABC знаходимо:

sin(a) = BC / AB

cos(a) = AC / AB

AB = BC / sin(a)

AC = BC cos(a) = BC sin(ß) / sin(a)

Тоді діагональ АС має довжину:

AC = BC sin(ß) / sin(a) = m sin(ß) / sin(a).

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

У паралелограмі ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці О.

Так як  ABCD - паралелограм, то діагональ AC ділиться точкою О на дві рівні частини, тобто OA = OC.

Тепер розглянемо трикутник AOC. У ньому ми знаємо сторону AC та два кути: кут BAC = a та кут CAD = ß.

Знайдемо третій кут трикутника AOC за формулою для суми кутів трикутника:

COC = 180° - BAC - CAD = 180° - a - ß.

Тепер за теоремою синусів знайдемо сторону OA (або OC), використовуючи відповідні сторони та кути у трикутнику AOC:

sin(COC) / sin(ACO) = sin(AOC) / sin(COA)

sin(180° - a - ß) / sin(ß) = OA / sin(a)

sin(a) * OA = sin(ß) * sin(a + ß) * m

OA = m * sin(a + ß) / sin(a)

Таким чином, діагональ АС має довжину OA, яку ми визначили за формулою:

OA = m * sin(a + ß) / sin(a)