1)Одна сторона прямоугольного равностороннего треугольника лежит в плоскости а, а другая сторона образует с этой плоскостью угол 45°. Докажите, что угол между плоскостью и плоскостью равен 30°. 2)Из точки, удаленной на 10 см от плоскости, проведены две перпендикулярные к этой плоскости кривые, образующие с плоскостью углы 30° и 45°. Найдите расстояние между основаниями этих скатов.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснени
,
2 2
ab ch
ab = ch
Составим систему уравнений.
а + b + с = 2р,а + b = 2р – с
а
2
+ b
2
= с
2
,(а + b)
2
= (2р – с)
2
аb = сh а
2
+ 2аb + b
2
= 4р
2
– 4рс + с
2
2сh = 4р
2
– 4рс
с (h + 2p) = 2p
2
h p
р
с
2
2
2
Ответ.
h p
р
2
2
2
.
Задача 2. В круг вписан прямоугольник, стороны которого относится как 8:15. Определить
эти стороны, если диаметр равен 34 см.
AC – диаметр, т.к.
АВС = 900
, АВ : ВС = 8 : 15.
Введем параметр t. АВ = 8t, ВС = 15t.
Из ∆ АВС по теореме Пифагора, имеем
АС2
= АВ2
+ ВС2
;
342
= 64t
2
+ 225t
2
;
342
= 172 t
2
; 34 = 17t; t = 2
АВ = 16 см, ВС = 30 см.
Ответ. 16 см, 30 см.
Задача 3. В треугольнике известны сторона а и два прилежащих к ней угла В и С. Найти
длины его высот.
Решение. Обозначим АВ = с, АС = b, ВС = а. AD = ha,
BE = hb, CF = hc
.
Из ∆ ВEC имеем hb = a sin C
Из ∆ ВFC имеем hc = a sin B
Из ∆ AВD имеем BD = ha ctg B.
Из ∆ ADC имеем DC = ha ctg C. ha ctg B + ha ctg C = a
sin( )
sin sin
ctg ctg B C
a B C
B C
a
ha
Ответ. a sin C, a sin B,
sin( )
sin sin
B C
a B C
.
Задача 4. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Найти синус меньшего угла этого треугольника.
Решение. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Обозначим: АВ = а + d, АС = а, тогда СВ = а – d, d > 0. По теореме Пифагора имеем
A
D
C B
B С
A E
F
D
С
D
B
A
0
(a + d)
2
= a
2
+ (a – d)
2
.
a = 4d
.
5
3
5
3
sin
d
d
a d
a d
A
Ответ. sin A =
5
3
.
Задача 5. Определить углы параллелограмма, если даны две его высоты h1 и h2 и периметр
2р.
C
Решение. BF, BE – высоты параллелограмма. BF = h1, BE = h2.
Пусть AB = x, BC = y.
2p = 2x + 2y; p = x + y; y = p – x
Площадь параллелограмма S = x h2 = (p – x) h1, отсюда
1 2
1
h h
ph
x
; sin A =
p
h h
x
h1 1 2
;
A = arcsin
p
h h 1 2
;B = – A = – arcsin
p
h1 h2
Ответ. А = С = arcsin
p
h h 1 2
; B = D = – arcsin
p
h h 1 2
Задача 6. В трапеции АВСД боковые ребра равны 24 и 7, а разность оснований равна 25.
Найти высоту трапеции.
Решение.
АD ВС, АВ = 24, СD = 7.
АД – ВС = 25
Проведем ВЕ СD, ВС = ВD как отрезки параллельных прямых,
отсекаемых параллельными прямыми.
А Е D
АЕ = АD – ВС = 25. Н – высота трапеции. Н =
AE
2S ABE
. SΔАВЕ найдем по трем сторонам по
формуле Герона
SΔ =
р( р а)(р в)(р с) ,
где р – полупериметр, а, в, с – стороны треугольника.
АВ = 24, АЕ = 25, ВЕ = 7.
SΔАВЕ =
28 4 3 21 4 7 3 84 2 2 2
Н =
25
168
= 6,72.
Ответ. 6,72