Question

З множини {1,2 … ,n} послідовно без повернення вибирають 2 числа. Знайти ймовірність того, що різниця між першим і другим вибраними числами буде меншою за m, m>0

Дуже потрібно даю 100 баллів

Answer 1

Ответ:

Загальна кількість способів вибрати 2 числа з множини {1,2,...,n} дорівнює C(n,2) = n(n-1)/2.

Щоб різниця між першим і другим вибраними числами була меншою за m, необхідно вибрати два числа такі, щоб |x - y| < m, де x та y - перше та друге вибрані числа відповідно.

Розглянемо два випадки:

Якщо m ≥ n, то будь-яка пара чисел з множини {1,2,...,n} задовольняє умові |x - y| < m. Тому ймовірність того, що різниця між першим і другим вибраними числами буде меншою за m, дорівнює 1.

Якщо m < n, то для виконання умови |x - y| < m перше число може бути будь-яким числом від 1 до n-m, а друге число може бути будь-яким числом від (x+1) до (x+m), де x - перше вибране число. Оскільки для першого числа доступно (n-m) варіантів, а для другого - (m-1) варіантів (адже x не може бути одночасно і першим, і другим числом), то кількість сприятливих випадків дорівнює (n-m)(m-1).

Таким чином, ймовірність того, що різниця між першим і другим вибраними числами буде меншою за m, дорівнює P = (n-m)(m-1) / (n(n-1)/2) = 2(n-m)(m-1) / (n(n-1)).

Отже, отримали формулу для ймовірності P, яку можна використовувати для будь-якого значення n та m.

Пошаговое объяснение: