вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=5/x; y=4x+1; x=2
Ответы
Ответ:
Найдем точки пересечения линии y=5/x и y=4x+1:
5/x = 4x + 1
5 = 4x^2 + x
4x^2 + x - 5 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем:
x1 ≈ -1.25
x2 ≈ 1
Найдем точки пересечения линии y=4x+1 и x=2:
y = 4x+1
x = 2
Подставляя x=2 в уравнение линии y=4x+1, получаем:
y = 4*2+1 = 9
Таким образом, точка пересечения линий y=4x+1 и x=2 равна (2, 9).
Найдем точки пересечения линии y=5/x и x=2:
y = 5/x
x = 2
Подставляя x=2 в уравнение линии y=5/x, получаем:
y = 5/2
Таким образом, точка пересечения линий y=5/x и x=2 равна (2, 2.5).
Итак, мы нашли все точки пересечения линий:
A ≈ (-1.25, -4)
B ≈ (1, 5)
C ≈ (2, 9)
D ≈ (2, 2.5)
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем разбить ее на две части: треугольник ABC и трапецию BCD.
Площадь треугольника ABC:
S_ABC = 1/2 * AB * BC
AB = sqrt((1-(-1.25))^2 + (5-(-4))^2) ≈ 11.36
BC = 9-5 ≈ 4
S_ABC ≈ 1/2 * 11.36 * 4 ≈ 22.72
Площадь трапеции BCD:
S_BCD = 1/2 * (BC+CD) * DH
BC = 4
CD = 9-2.5 ≈ 6.5
DH = 2-2 = 0
S_BCD ≈ 1/2 * (4+6.5) * 0 ≈ 0
Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y=5/x; y=4x+1; x=2 составляет S ≈ S_ABC + S_BCD ≈ 22.72. Ответ: 22.72.
Объяснение:
22.72
Для вычисления площади фигуры необходимо найти точки пересечения всех трех линий, которые ограничивают эту фигуру, а затем построить треугольник и прямоугольник, соответствующие этим линиям.
Найдем точки пересечения:
y = 5/x и y = 4x + 1:
5/x = 4x + 1
5 = 4x^2 + x
4x^2 + x - 5 = 0
Решив это квадратное уравнение, получим:
x = -1 или x = 5/4
y = 5/x и x = 2:
y = 5/2
y = 4x + 1 и x = 2:
y = 9
Таким образом, наша фигура ограничена прямыми y = 5/x, y = 4x + 1 и x = 2
Найдем площади треугольника и прямоугольника:
Площадь треугольника можно найти по формуле:
S_triangle = 1/2 * основание * высота
Высоту треугольника можно найти, зная координаты его вершин:
h = |y_1 - y_2| = |5 - 4| = 1
Основание треугольника можно найти, зная координаты точек пересечения прямых y = 5/x и y = 4x + 1:
x_1 = -1, y_1 = -5
x_2 = 5/4, y_2 = 4
b = |x_1 - x_2| = 9/4
Таким образом, площадь треугольника равна:
S_triangle = 1/2 * 9/4 * 1 = 9/8
Площадь прямоугольника можно найти, зная его размеры:
a = 2 (ширина)
b = 9 (длина)
Таким образом, площадь прямоугольника равна:
S_rectangle = a * b = 2 * 9 = 18
Найдем площадь всей фигуры:
S = S_triangle + S_rectangle = 9/8 + 18 = 145/8
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5/x, y = 4x + 1 и x = 2, равна 145/8.