Дано трикутник, вершини якого знаходяться у точках A(2;3) B(-1;4) С(3;-2). Скласти рівняння : а) сторони АВ; б) прямої ВМ яка паралельна стороні АС; в) рівняння медіани AD; г) висоти ВЕ;
Ответы
Відповідь:
a) Сторона AB - це відрізок, який з'єднує точки A(2;3) та B(-1;4). Використовуючи формулу відстані між двома точками, маємо:
AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²] = √[(-1 - 2)² + (4 - 3)²] = √10
Таким чином, сторона AB дорівнює √10.
б) Пряма ВМ паралельна стороні АС, тому її напрямний коефіцієнт співпадає з напрямним коефіцієнтом сторони АС, який можна знайти за формулою:
k_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A)
k_AC = (-2 - 3) / (3 - 2) = -5
Отже, напрямний коефіцієнт прямої ВМ також дорівнює -5. Знаючи координати точки B(-1;4), ми можемо скласти рівняння прямої ВМ у вигляді:
y - y_B = k_VM (x - x_B)
де k_VM = -5 - напрямний коефіцієнт прямої ВМ.
Підставляючи в цю формулу координати точки B(-1;4), маємо:
y - 4 = -5(x + 1)
або
y = -5x - 1
Таким чином, рівняння прямої ВМ дорівнює -5x - y + 1 = 0.
в) Медіана AD ділить сторону BC пополам і проходить через вершину A, тому вона є середньою лінією трикутника ABC. Координати середини сторони BC ми знаємо з попереднього пункту - M(1;1). Координати вершин A і B також відомі - A(2;3) і B(-1;4). Тому, вектор, що йде від точки A до середини сторони BC можна знайти за допомогою векторної формули:
AM = 1/2 (BM + CM)
де BM і CM - вектори, що йдуть від точок B та C до M відповідно. Обчислимо ці вектори:
BM = M - B = (1 - (-1); 1 - 4) = (2; -3)
CM = M - C = (1 - 3; 1 - (-2)) = (-2; 3)
AM = 1/2 (BM + CM) = 1/2 (2 - 2; -3 + 3) = (0; 0)
Таким чином, медіана AD співпадає з вектором, що йде від точки A до середини сторони BC, тобто її напрямний вектор можна записати як (0; 0) або у вигляді рівняння:
x - 2 = 0
або
x = 2
г) Щоб знайти рівняння висоти ВЕ, спочатку потрібно знайти координати точки перетину висоти зі стороною AC. Оскільки висота ВЕ перпендикулярна до сторони AC, то вектор, що йде від точки B до точки перетину, буде перпендикулярний до вектора, що йде від точки A до точки C. Тому спочатку потрібно знайти напрямний вектор сторони AC:
AC = C - A = (3 - 2; -2 - 3) = (1; -5)
Так як вектор, що йде від точки B до точки перетину висоти, є перпендикулярним до вектора AC, то їх скалярний добуток дорівнює 0:
(BE - BA) * AC = 0
де BE - координати точки перетину висоти зі стороною AC, а BA - вектор, що йде від точки B до точки A:
BE - BA = (x - (-1); y - 4)
AC = (1; -5)
Підставляючи ці вектори в формулу, отримаємо рівняння:
(x + 1; y - 4) * (1; -5) = 0
або
x + 5y - 21 = 0
Отже, рівняння висоти ВЕ має вигляд:
x + 5y - 21 = 0.
Покрокове пояснення: