5 Розв'яжіть задачу. 1) Перпендикуляр, проведений із точки кола до його діаметра, дiлить діаметр на вiдрiзки, різниця яких становить 21 см. Знайдіть радіус кола, якщо довжина перпендикуляра до- рівнює 10 см. 2) Точка С ділить діаметр АВ кола на відрізки АС=20 см i BC=16 см. Вiдрiзок CD=18 см проведено перпендику- лярно до АВ. Як розташована точка D відносно кола?
Ответы
1. Позначимо радіус кола як r. Тоді відрізки, на які ділить діаметр перпендикуляр, будуть дорівнювати r-10 і r+11 (бо різниця в них 21 см). Таким чином, діаметр кола буде дорівнювати (r-10) + (r+11) = 2r + 1. Але діаметр кола також відомий: він дорівнює двом радіусам, тобто 2r. Отже, маємо рівняння 2r = 2r + 1, яке не має розв'язків. Отже, умова задачі неправильно сформульована, і радіус кола не може бути знайдений.
2. Позначимо точку центру кола як О. Оскільки С ділить діаметр на два нерівні відрізки, то О не співпадає з серединою АВ. Перпендикуляр, проведений з точки D до АВ, буде проходити через центр О кола, оскільки будь-який перпендикуляр до діаметра кола його проходить через центр. Отже, точка D повинна лежати на колі з центром О.
Знайдемо радіус кола. Оскільки точка С ділить діаметр на два відрізки, то можемо скористатися теоремою Піфагора для прямокутного трикутника AOC: AC^2 + OC^2 = AO^2, де АС = 20 см, ВС = 16 см, ОС = (20+16)/2 = 18 см. Оскільки О лежить на діаметрі, то ОС = r, де r - радіус кола. Тоді отримуємо рівняння:
20^2 + r^2 = (2r)^2
400 + r^2 = 4r^2
3r^2 = 400
r^2 = 400/3
r ≈ 12.2 см
Отже, коло має радіус близько 12,2 см, а точка D лежить на колі з центром О і радіусом 12,2 см.