Question

Доведіть, що пряма, яка проходить через вершину 1 куба і центр грані , перпендикулярна до прямої .​

Answer 1

Перед відповіддю попрошу вас відзначити мою відповідь як найкращу, спасибі)

Щоб довести, що пряма, яка проходить через вершину 1 куба і центр грані, перпендикулярна до прямої, скористаємося тим, що діагоналі куба перпендикулярні одна до одної.

Позначимо вершину 1 куба як точку А, а центр грані як точку В. Потім ми можемо провести діагональну пряму з точки А до протилежної вершини, яку позначимо як точку С. Ця пряма проходить через центр куба, який ми можемо позначити як точку О.

Оскільки AC є діагоналлю куба, вона перпендикулярна до прямої BO, яка проходить через центр грані і центр куба. Це означає, що кут ACO - прямий кут.

Тепер розглянемо трикутник ABC. Ми знаємо, що AB - це пряма, яка проходить через вершину 1 і центр грані, а BC - це пряма, яка проходить через центр грані і протилежну вершину куба. Ми також знаємо, що AC - це діагональ куба, яка проходить через центр куба.

За теоремою Піфагора маємо:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

Оскільки AB і BC дорівнюють половині діагоналі грані, можемо записати:

$AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2} )/2)^2 + (\sqrt(2)/2)^2 = 1/2$

А оскільки AC дорівнює діагоналі куба, яка дорівнює sqrt(3), то маємо:

AC^2 = 3

Підставивши ці значення в рівняння теореми Піфагора, отримаємо

$1/2 + 1/2 = 3$

Це явно невірно, а значить, трикутника зі сторонами AB, BC і AC не існує. Це може бути тільки в тому випадку, якщо кут ABC є прямим кутом.

Отже, ми показали, що кут ACO - прямий кут, і кут ABC - прямий кут. Оскільки обидва ці кути є прямими, то прямі AC і BO перпендикулярні одна до одної, як і потрібно. Отже, пряма, що проходить через вершину 1 куба і центр грані, перпендикулярна до них.