Question

Помогите с решением пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi }{2}$

Объяснение:

По определению $[x]=x-\{x\}, 0\leq \{x\} < 1$, где $\{x\}$ - дробная часть числа.

Тогда верно $x-1 < [x]\leq x$. Отсюда

$\dfrac{\pi-1+2\pi-1+...+\pi n-1}{n^2} < \dfrac{[\pi]+[2\pi]+...+[\pi n]}{n^2}\leq \dfrac{\pi+2\pi+...+\pi n}{n^2}$;

$\dfrac{\frac{\pi+\pi n}{2}\cdot n-1\cdot n}{n^2} < \dfrac{[\pi]+[2\pi]+...+[\pi n]}{n^2}\leq \dfrac{\frac{\pi+\pi n}{2}\cdot n}{n^2}$;

$\dfrac{\pi+\pi n-2}{2n} < \dfrac{[\pi]+[2\pi]+...+[\pi n]}{n^2}\leq \dfrac{\pi+\pi n}{2n}$;

$\dfrac{\pi-2}{2n}+\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{[\pi]+[2\pi]+...+[\pi n]}{n^2}\leq \dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{\pi }{2}$.

Т.к. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi-2}{2n}+\dfrac{\pi }{2} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{\pi }{2} =\dfrac{\pi }{2}$, то по теореме о двух милиционерах предел исходного выражения равен $\dfrac{\pi }{2}$.
________________________________________________

Скриншот также приложен по просьбе