Question

Даны попарно взаимно простые натуральные числа a,b,c . Найдите все целые значения , которые может принимать следующее выражение $\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+ \frac{a+b}{c}$

Answer 1

Ответ:

6; 7; 8.

Пошаговое объяснение:

Поскольку данное выражение симметрично относительно a, b, c,  достаточно рассмотреть случай  a ≤ b ≤ c.

Данное выражение является целым числом тогда и только тогда, когда целым числом является выражение

$\left(1+\dfrac{b+c}{a}\right)+\left(1+\dfrac{a+c}{b}\right)+\left(1+\dfrac{a+b}{c}\right)= \dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}=$

              $=(a+b+c)\cdot\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)= \dfrac{(a+b+c)\cdot (bc+ac+ab)}{abc}.$

Числа называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1. В частности, взаимно просты 1 и любое другое натуральное число, в том числе взаимно просты 1 и 1.

Рассмотрим сначала тривиальные случаи.  

1) a=b=c=1⇒ исходное выражение равно 6.

2) a=b=1<c⇒ $\dfrac{b+c}{a} -$ целое, $\dfrac{a+c}{b} -$ целое, $\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{2}{c} -$ целое тогда и только тогда, когда c=2; при этом наше выражение равно 3+3+1=7.

3) a<b<c. Для анализа воспользуемся выражением

                 $\dfrac{(a+b+c)(bc+ac+ab)}{abc}=\dfrac{((a+b)+c)((a+b)c+ab)}{abc}.$  

Поскольку числа взаимно просты, (a+b)c+ab взаимно просто с c (если  c=pt; (a+b)c+ab=pq; p>1⇒ ab=pq-(a+b)c=p(q-(a+b)t)⇒ или a или b делится на p). Поэтому a+b+c делится на с ⇒ a+b делится на c. Но по предположению a<b<c⇒a+b<2c⇒a+b=c. А тогда исследуемое выражение принимает вид

                       $\dfrac{2c(c^2+ab)}{abc}=\dfrac{2(c^2+ab)}{ab}=\dfrac{2c^2}{ab}+2.$

Поэтому 2c² должно делиться на ab, но поскольку c не имеет общих делителей ни с a, ни с b, 2 делится на ab⇒a=1; b=2⇒c=a+b=3, а исходное выражение равно 5+2+1=8.