Question

Вычисление числовых выражений. Дам 100 баллов​

Answer 1

$S_n=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)}\right)=$$=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2(1)-1}-\frac{1}{2(n+1)-1}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}$$S_n=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}\right)=\frac{1}{2}$

$S_{50}=\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\lim_{n\to 50}\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)} \right )=\frac{50}{101}$