Question

Знайти всі тризначні числа авс, квадрати яких закінчуються на авс

Answer 1

Ответ: Два числа  376 и 625

Объяснение:

Сначала определимся ,  сколько трехзначных чисел  при возведении в квадрат ,  дадут пятизначное число  

Для этого найдем приблизительное значение , наибольшего пятизначного числа

$\sqrt{99999} \approx 316$

Соответственно , квадраты  чисел начиная с 100² = 10000 до  
316² = 99856 , будут  пятизначными

А уже начиная  с 317² до 999²  , числа будут шестизначными

Таким образом , у нас имеется два случая  :

1) Когда квадрат нашего искомого числа будет 5-ным

$\overline{ABC}^2 = \overline{DEABC} \\\\ \overline{ABC} ^2= \overline{DE000} + \overline{ABC} \\\\ 1000\cdot \overline{DE} = \overline{ABC} ^2 - \overline{ABC} \\\\ 1000\cdot \overline{DE} = \overline{ABC}\cdot ( \overline{ABC} - 1 )$

Рассматриваем уравнение

$1000 \cdot \overline{DE} = \overline{ABC}\cdot ( \overline{ABC} - 1 )$

Очевидно , что  вариант когда  ABC = 100  не подойдет  100·(100-1) = 9900 , поскольку получившееся в результате число имеет всего два нуля

Со случаями  когда   ABC = 200,300  аналогично , поэтому рассматривать их , мы не будем  

Вспомним , что  нули получаем путем  2·5 =10

А три нуля  , мы получим только когда в произведении  содержаться множители   10³ = 2³·5³

А это может быть когда :

$\overline{ABC} = 5^3 \cdot n$

n = 1  

n - нечетное  , поскольку если n  четное ,  то в окончании ABC  будет ноль ,  а эти варианты мы уже отмели

Берем  n = 1 , поскольку при  n = 3  уже выходит шестизначное число

$\overline{ABC}\cdot ( \overline{ABC} - 1 ) = 125 \cdot 124$

В разложении 124 = 31·2²  имеются две двойки ,  а нам нужны хотя бы три , поэтому данный вариант не подходит

Не забудем , о варианте когда  $\overline{ABC}-1 = 5^3 \cdot n$

Также берем  n = 1

$\overline{ABC}\cdot ( \overline{ABC} - 1 ) = 126 \cdot 125$

И по той же аналогии  ,  в разложении  126 = 63·2 одна двойка ,  данный вариант не подходит

Вывод : Среди  пятизначных чисел ,  нет такого числа , которое бы подходило под условие нашей задачи

2) Когда квадрат нашего искомого числа будет 6-ным

$\overline{ABC}^2 = \overline{FGHABC}$

Поступаем также как  и пятизначными числами , только теперь берем числа из промежутка от 317 до 999

$\overline{ABC}^2 = \overline{FGHABC} \\\\ \overline{ABC} ^2= \overline{FGH000} + \overline{ABC} \\\\ 1000\cdot \overline{FGH} = \overline{ABC} ^2 - \overline{ABC} \\\\ 1000\cdot \overline{FGH} = \overline{ABC}\cdot ( \overline{ABC} - 1 )$

Очевидно  что варианты  когда ABC = 400,500,600,700,800,900  не подходят , т.к в результате второе  $\overline{ABC} - 1$ число будет  нечетным , а дополнительных нулей кроме двух имеющихся , их произведение уже не даст.

Ссылаемся к тому  что мы делали ,  когда рассматривали  трехзначные числа , которые при возведении в квадрат давали 5-ные числа

"Три нуля  , мы получим только когда  произведении  содержаться множители   10³ = 2³·5³"

Продолжаем , вот только теперь  n может быть равно  3,5,7 ,  а при  
n = 9  мы уже получим четырехзначное число  

При  n = 3

$\overline{ABC} = 5^3 \cdot 3 = 375$

Т.к  $\overline{ABC} - 1= 374$ ,  а 374 =  187·2 содержит одну двойку , поэтому данное число не подходит

А если же   $\overline{ABC} -1= 5^3 \cdot 3 = 375$  ,  то   ABC = 376   ,  а 376 = 2³·47

как раз содержит  в своем разложении три двойки , а значит оно подходит !

При n = 5

$\overline{ABC} = 5^4 \cdot 5 = 625$    ,  $\overline{ABC} -1= 624$

624  = 2⁴·39  ,  в разложении имеет четыре двойки , поэтому данный вариант также подходит

Если  $\overline{ABC}-1 = 5^4 \cdot 5 = 625$  ,  то  ABC = 626 = 2·313 имеется только одна двойка , данный вариант  отметается

При  n = 7

$\overline{ABC} = 5^3 \cdot 7 = 875$ ,   $\overline{ABC} -1= 874= 437 \cdot 2$ ,  всего одна двойка , данный вариант не подходит

Если $\overline{ABC} -1= 5^3 \cdot 7 = 875$ ,  то  $ABC -1= 876 = 219 \cdot 2^2$  всего две двойки данный вариант также  не подходит

На этом поиск  чисел завершается ,  и ответ на задачу : Два числа  376 и 625

#SPJ1