Question

cos^4x-Sin^4x>-корень2/2
$cos ^{4} x - sin ^{4} x > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$
решите неравенство пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

x∈(-3π/8 + πn ; 3π/8 + πn) , n∈Z

Объяснение:

$\displaystyle\cos {}^{4} x - \sin {}^{4} x > - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \left( \cos {}^{2} x\right) {}^{2} - \left( \sin {}^{2}x \right) {}^{2} > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Применим формулу сокращенного умножения : a²-b² = (a-b)(a+b) .

То есть:

$\displaystyle \left( \cos {}^{2} x - \sin {}^{2} x \right) \left( \cos {}^{2} x + \sin {}^{2} x \right) > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Зная cos²x - sin²x = cos2x и cos²x + sin²x = 1 мы имеем:

$\displaystyle \cos2x > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

_____________

Вспомним :

Если cosx > a , где |а|<1 , то:

-аrccosa + 2πn < x < arccosa + 2πn

_____________

Применим это для нашего случая:

$\displaystyle \boldsymbol{- \arccos\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) + 2\pi n < 2x < \arccos\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) + 2\pi n} \\ \\ - \bigg(\pi - \frac{\pi}{4} \bigg) + 2\pi n < 2x < \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ \\ - \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} + \pi n \\ \\ - \frac{3\pi}{8} + \pi n < x < \frac{3\pi}{8} + \pi n,n\in Z$

Ответ: x∈(-3π/8 + πn ; 3π/8 + πn) , n∈Z